मान लीजिए $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. तो $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$0$ और $\pi / 2$ के बीच स्थित $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए जो समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ को संतुष्ट करता है।

समुच्चय $\{A=\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} : a, b, d \in \{-1, 0, 1\} \text{ और } (I-A)^3 = I-A^3 \}$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है।

मान लीजिए कि $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इस प्रकार कि $A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ है। तो $|A|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ एक सिंगुलर आव्यूह (singular matrix) है,तो $k$ और $\frac{1}{k}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण क्या है?